Fondamenti della meccanica atomica
e quindi, se non sono entrambe nulle c1 e c2, dovrà essere
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Si osservi che se f(x) è funzione pari, cioè se f(— x) = f(x), tale è anche C(ω), e se f(x) è dispari, anche C(ω) è dispari. Nel primo caso la (53
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L'equazione si dirà autoaggiunta se ha la forma seguente (analoga alla (12))
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e si deve cercare, se è possibile, di ridurre l'equazione all'eguaglianza di un'espressione contenente sole funzioni di x con una contenente sole
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particella B riceve il quanto solo se il foro si trova sulla retta AB: invece è ben noto che un foro sottile dà luogo a fenomeni di diffrazione in virtù dei
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I neutroni ed i positroni sono stati scoperti solo ultimamente (1932-33) e sono ancora poco conosciuti. Non si sa poi ancora se queste quattro specie
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Se l'autovalore è semplice, l'autofunzione che gli corrisponde dà senz'altro, col quadrato del suo modulo, la distribuzione della probabilità P: se
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Si osservi che se l'elettrone si trova in uno stato di quelli che al § 29 abbiamo chiamato « semplici», cioè se la sua energia ha un valore ben
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Bisogna dunque cercare se la (183') ammette soluzioni finite e continue dovunque, e tendenti a 0 per tendente a : si troverà che ciò è possibile solo
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e, se n è pari, si dovrà considerare la soluzione a potenze pari (, arbitrario), se n è dispari quella a potenze dispari ( , arbitrario). Polinomi
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il quale, se fosse positivo, diventerebbe infinito o per
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se si pone
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Se si opera come nel caso precedente, ponendo
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Polinomi generalizzati di Laguerre. - Se si deriva l'equazione (277), si ottiene
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ossia se
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perciò, se si definisce un nuovo numero quantico (non negativo) k, ponendo
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(come se ruotasse su sè stesso a guisa di trottola) ed un momento magnetico intrinseco avente direzione opposta ed il valore di un magnetone di Bohr
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I valori estremi corrispondono evidentemente, nel modello intuitivo, a j antiparallelo, o parallelo, al campo. Naturalmente, se j è intero, anche i
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Si osservi anche che, se c è una costante
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Se per h, m, c si pongono i loro valori numerici, si trova
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Dato un o. l. , se esiste un o. l. tale che
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Alle formule del § 5 si può dare un'interpretazione espressiva se si conviene di considerare le componenti fn (che caratterizzano una funzione f
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Di qui ricaviamo facilmente un'altra proprietà degli operatori hermitiani: per due funzioni qualunque f e g, si ha, se è hermitiano (e solo se è tale):
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e in particolare, se e sono permutabili, il loro prodotto è hermitiano.
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Corollario del teorema precedente è che se è hermitiano, sono tali tutte le sue potenze, e quindi qualunque sua funzione analitica (a coefficienti
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È evidente poi che, se la funzione F è invertibile (cioè se si può scrivere con G simbolo di funzione analitica), vale anche il reciproco di questo
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Una matrice continua si dirà hermitiana se
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se l'intervallo (a, b) non contiene
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0 se non hanno punti comuni;
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se hanno in comune un tratto .
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Evidentemente, se la f è funzione univalente come supporremo, e se le Gr sono discrete, le loro probabilità sono uguali a quelle delle corrispondenti
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Se poi le osservabili X, Y sono compatibili, il loro prodotto simmetrizzato si identifica col prodotto XY o YX. Se invece sono incompatibili, non si
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L'analogia consiste in questo: se nella (80) si sostituiscono materialmente le variabili
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Se, in particolare, il vettore di stato giace su uno degli assi principali di (cioè se ), il sistema è in uno stato tale che una misura di G dà con
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Ora, se lo stato di ciascun sistema è rappresentato dal vettore (lo stesso per tutti i sistemi) e se si chiama l'autofunzione dell'operatore
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La (115') dà, in particolare, se G è una coordinata cartesiana ,
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e, se G è una componente cartesiana dell'impulso
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Si vede subito che l'energia è un integrale primo se ( e solo se ) , cioè se l' hamiltoniana non contiene esplicitamente il tempo: si dirà in tal
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Difatti le equazioni di Hamilton che se ne ricavano sono
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Di qui si vede intanto che in ogni linea della matrice vi è almeno un elemento non nullo (altrimenti, se la k-esima linea fosse tutta di zeri, la
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(1) Se gli autovalori sono in parte discreti ed in parte continui, e se l'autovalore su cui si fissa l'attenzione appartiene ai primi, le formule di
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Se ora poniamo
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Ciò significa che la probabilità di transizione dallo stato n allo stato è rilevante solo se la differenza di energia tra i due stati, , è molto
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e analogamente per la (11'). Se il campo magnetico è nullo o trascurabile, ciascuna delle due soddisfa l'ordinaria equazione di Schrödinger: perciò
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Questa equazione sarà soddisfatta se la matrice S è tale che sia
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Sostituendo nelle (334) e procedendo come poc'anzi, si trova che, se si prende
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L'altro punto eventualmente singolare è r = 0: ivi le espressioni precedenti sono regolari se , mentre se divengono infinite dell'ordine di : tale
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posizionali sia antisimmetrica se gli spin sono paralleli, e sia simmetrica se sono antiparalleli: nel primo caso si ha un livello triplo (che il
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Innanzi tutto, è chiaro che l'urto non può produrre nessun effetto se l'energia dell'elettrone urtante è minore dell'energia che occorre per portare
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Si osservi che la (17) porta con sè la relazione coniugata
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Accademia della crusca
